Question

【題目】如圖，在菱形中，，點分別是線段上的動點(不與端點重合)，且，與相交于點．給出如下幾個結論：

①

②平分；

③若，則

④

其中正確的結論是_____________(填寫所有正確結論的序號)．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據菱形的性質得到AB＝AD，推出△ABD為等邊三角形，得到∠A＝∠BDF＝60，根據全等三角形的判定得到△AED≌△DFB；過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），根據全等三角形的性質得到CN＝CM，根據角平分線的定義得到CG平分∠BGD；過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2），根據平行線分線段成比例定理得到BG＝6GF，再得到；推出B、C、D、G四點共圓，根據圓周角定理得到∠BGC＝∠BDC＝60，∠DGC＝∠DBC＝60，求得∠BGC＝∠DGC＝60，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），推出S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN，于是得到S四邊形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．

①∵ABCD為菱形，

∴AB＝AD，

∵AB＝BD，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠A＝∠BDF＝60，

又∵AE＝DF，AD＝BD，

∴△AED≌△DFB（SAS），故本選項正確；

②過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），

∴CN＝CM，

∵CG＝CG，

∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），

∴∠DGC＝∠BGC，

∴CG平分∠BGD；故本選項正確；

③過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2），

∵AF＝2FD，

∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，

∵AE＝DF，AB＝AD，

∴BE＝2AE，

∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，

∵FP∥AE，

∴PF∥BE，

∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，

即BG＝6GF，

∴

故本選項錯誤；

④∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60＝∠BCD，

即∠BGD＋∠BCD＝180，

∴點B、C、D、G四點共圓，

∴∠BGC＝∠BDC＝60，∠DGC＝∠DBC＝60，

∴∠BGC＝∠DGC＝60，

過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），

∴S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN，

S四邊形CMGN＝2S△CMG，

∵∠CGM＝60，∴∠GCM＝60

∴GM＝CG，CM＝=CG，

∴S四邊形CMGN＝2S△CMG＝2×××CG×CG＝CG2，故本選項正確；

故答案為：①②④．