Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對角線BD上一點，且EA=EC，BE=BC．當∠CBE：∠BCE=_________，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】2：3，證明見解析．

【解析】

首先證得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性質可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，可得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，可得AD=BC，利用平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD為平行四邊形，由AD=CD可得四邊形ABCD是菱形； 由BE=BC可得△BEC為等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的內角和定理可得∠CBE =45°，可得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四邊形ABCD是正方形．

證明：當∠CBE：∠BCE=時，四邊形ABCD是正方形．

理由如下：

在△ADE與△CDE中，

∴∠ADE=∠CDE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBD，

∴∠CDE=∠CBD，

∴BC=CD，

∵AD=CD，

∴BC=AD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵AD=CD，

∴四邊形ABCD是菱形；

∵BE=BC

∴∠BCE=∠BEC，

∵∠CBE：∠BCE=2：3，

∴∠CBE=180×=45°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABE=45°，

∴∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形．