Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P，G不與正方形頂點重合，且在CD的同側），PD=PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連結EF．

（1）如圖1，當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時．

①請直接寫出線段DG與PC的數量關系(不要求證明）；

②求證：四邊形PEFD是菱形；

（2）如圖2，當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①DG＝2PC，理由見解析；②見解析；（2）四邊形PEFD是菱形，理由見解析．

【解析】

（1）①結論：DG＝2PC，如圖1中，作PM⊥AD于M．只要證明四邊形PMDC是矩形，推出PC＝DM，再證明MG＝MD即可解決問題．

②由四邊形PMDC是矩形得CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出PG＝PF，進而可得DP＝PF，再證明DF∥PE，推出四邊形PEFD是平行四邊形，再結合PD＝PE即可證明四邊形PEFD是菱形；

（2）如圖2中，作PM⊥AD于M．則四邊形CDMP是矩形，CD＝PM，由△ADF≌△MPG，推出DP＝PG＝PE＝PF，再證明DF∥PE，推出四邊形PEFD是平行四邊形，由PD＝PE，即可證明四邊形PEFD是菱形．

解：（1）①結論：DG＝2PC．

理由：如圖1中，作PM⊥AD于M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠CDM＝∠DMP＝90°，AD＝CD，

∴四邊形DCPM是矩形，

∴PC＝DM，

∵PD＝PG，PM⊥DG，

∴MG＝MD，

∴DG＝2PC．

線段DG與PC的數量關系為DG＝2PC．

②∵四邊形CDMP是矩形，

∴CD＝PM，

∵AD＝CD，

∴AD＝PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DAF＝∠PMG＝∠GHD＝90°，

∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠ADF +∠PGM＝90°，

∴∠AFD＝∠PGM，

在△ADF和△MPG中，

，

∴△ADF≌△GMP，

∴DF＝PG

∵PG＝PE＝PD，

∴DP＝PG＝PE＝PD，

∵∠FHG＝∠EPG＝90°，

∴DF∥PE，

∴四邊形PEFD是平行四邊形，

∵PD＝PE，

∴四邊形PEFD是菱形．

（2）結論：四邊形PEFD是菱形．

理由：如圖2中，作PM⊥AD于M．則四邊形CDMP是矩形，CD＝PM，

∵∠DAF＝∠PMG＝∠DHG＝90°，

∴∠ADF+∠AFD＝90°，∠G+∠GDH＝90°，

∵∠ADF＝∠GDH，

∴∠AFD＝∠G，

∵AD＝CD，CD＝PM，

∴AD＝PM，

在△ADF和△MPG中，

，

∴△ADF≌△MPG，

∴DP＝PG＝PE＝PD，

∵∠FHG＝∠EPG＝90°，

∴DF∥PE，

∴四邊形PEFD是平行四邊形，

∵PD＝PE，

∴四邊形PEFD是菱形．