Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，點D的坐標是（0，），以點C為頂點的拋物線y=ax2+bx+c恰好經過x軸上A、B兩點．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（3）若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D點，求平移后拋物線的解析式，并指出平移了多少個單位長度．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）、（3，0）、（2，）；（2）y=–（x–2）2+；（3）向上平移了5–=4個單位長度

【解析】試題分析：（1）

過C作CE⊥AB于E，根據拋物線的對稱性知AE=BE；由于四邊形ABCD是菱形，易證得△OAD≌△EBC，則OA=AE=BE，設OA=AE=BE=m，則菱形的邊長為2m，在Rt△BCE中，根據勾股定理即可求出m的值，由此可確定A、B、C三點的坐標；
(2)根據(1)題求得的三點坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式；
(3)設出平移后的拋物線解析式，將D點坐標代入此函數的解析式中，即可求出平移后的函數解析式，與原二次函數解析式進行比較即可得到平移的單位.

解：（1）過C作CE⊥AB于E，由拋物線的對稱性可知AE=BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CD//AB, AD=BC，

∴∠DCE=∠CEO=90°，

又∠DOA=90°， ∴四邊形ODCE為矩形，

∴OD=CE,

在Rt△AOD和Rt△BEC中，

∵OD=EC，AD=BC，

∴Rt△AOD≌Rt△BEC（HL），

∴OA=BE=AE，

設OA=AE=BE=m，則菱形的邊長為2m，

∵D（0，）, ∴OD=CE= ,

在Rt△AOD中， ,

∴ m2+（）2=（2m）2，

解得m =1；

∴DC=2，OA=1，OB=3；

∴A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（2，）；

（2）由（1）知頂點C（2，），可設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+，

代入A點坐標可得 ，

解得a =﹣，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+；

（3）設平移后的拋物線的解析式為 y=﹣（x﹣2）2+k，

代入D（0，）可得 ，

解得k=5，

所以平移后的拋物線的解析式為y=﹣（x﹣2）2+5，

向上平移了5﹣=4個單位．