Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx﹣1經過點A(﹣2，1)和點B(﹣1，﹣1)，拋物線C2：y＝2x2+x+1，動直線x＝t與拋物線C1交于點N，與拋物線C2交于點M．

（1）求拋物線C1的表達式；

（2）直接用含t的代數式表達線段MN的長；

（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣1；（2）MN＝t2+2；（3）t＝0或1

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）點M、N的坐標分別為：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t-1），即可求解；
（3）分∠ANM=90°、∠AMN=90°兩種情況，分別求解即可．

解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，

故拋物線C1的表達式為：y＝x2+x﹣1；

（2）點M、N的坐標分別為：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t﹣1），

則MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2；

（3）①當∠ANM＝90°時，AN＝MN，

AN＝t﹣（﹣2）＝t+2，MN＝t2+2，

t＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去0），故t＝1；

②當∠AMN＝90°時，AM＝MN，

AM＝t+2＝MN＝t2+2，

解得：t＝0或1（舍去1），故t＝1；

綜上，t＝0或1．