Question

【題目】如圖1，把矩形放在平面直角坐標系中，邊在軸上，邊在軸上，連接，且，過點作平分交于點．動點在線段上運動，過作交于，過作交于．

（1）當時，在線段上有一動點，軸上有一動點，連接當周長最小時，求周長的最小值及此時點的坐標；

（2）如圖2，在（1）問的條件下，點是直線上的一個動點，問：在軸上是否存在點，使得是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點及對應的點的坐標，若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）周長的最小值為6，N（0,1）；（2）存在，P（，），對應Q（0，）或P（，），對應Q（0，）．

【解析】

（1）根據角平分線、平行線以及矩形的性質得出∠EFG=30°，設EG=a，表達出△EFG的面積，求出a的值，進而求出OE的值，連接DE，DF，作點E關于y軸的對稱點H，連接DH，證明△CEF≌△CDF（SAS），得到點E與點D關于AC對稱，確定周長的最小值為DH，求出點D和點H的坐標，即可求出DH的值，待定系數法求出直線DH的解析式，即可求出點N的坐標；

（2）待定系數法求出直線AC的解析式，設點P（p，p+3），①若∠QPE=90°，PQ=PE，過點P作PK⊥y軸于點K，PJ⊥x軸于點J，證明△PKQ≌△PEJ（AAS），得到QK=EJ，PK=PJ，列出方程即可求出p，進而求出P和Q的坐標；②當∠QEP=90°時，EQ=EP，過點P作PR⊥x軸于點R，證明△OQE≌△REP（AAS），得到PR=OE=，OQ=ER，列出方程即可求出p，進而得到P和Q的坐標即可．

解：（1）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠BCO=90°，BC=OA=3，

∵∠ACO=30°，

∴∠ACB=60°，

∵CD平分∠ACB，

則∠ACD=∠BCD=30°，

∵FG∥CD，

∴∠CFG=∠ACD=30°，

∴∠ACO=∠CFG=30°，

∴CG=FG，

∵EF⊥OC，∠ACO=30°，

∴∠EFC=60°，

∴∠EFG=60°-30°=30°，

設EG=a，則FG=2a，

∴EF=，

∴，即，解得：a=，

∴EF=，FG=CG=，

∴CE=CG+EG=+=2，

∵OA=3，∠AOC=30°，

∴AC=6，OC=，

∴OE=，

連接DE，DF，作點E關于y軸的對稱點H，連接DH，

∵∠BCD=30°，BC=3，∠B=90°，

設BD=b，則DC=2b，

∴b2+32=(2b)2，解得：b=，則DC=2，

∴CE=CD，

在△CEF與△CDF中，

CE=CD，∠ECF=∠DCF，CF=CF，

∴△CEF≌△CDF（SAS），

∴EF=DF，

∴CF垂直平分DE，

∴點E與點D關于AC對稱，

∴周長的最小值為DH，

∵BD=，AB=OC=3，

∴AD=2，則D（2，3），

又∵點H（-，0），

∴DH=，

周長的最小值為6，

設直線DH的解析式為y=kx+t，

將D（2，3），H（-，0）代入得：，

解得：k=，t=1，

∴y=x+1，

當x=0時，y=1，

∴N（0,1）

（2）存在，

設直線AC為y=mx+n，將點A（0,3），C（3，0）代入得：

，解得m=，n=3，

∴y=x+3，

設點P（p，p+3），

①若∠QPE=90°，PQ=PE，

如圖①，過點P作PK⊥y軸于點K，PJ⊥x軸于點J，

∵∠KOJ=∠PKO=∠PJO=90°，

∴∠KPJ=90°，

∵∠QPK+∠KPE=∠JPE+∠KPE=90°，

∴∠QPK=∠EPJ，

又∵PQ=PE，∠PKQ=∠PJE=90°，

∴△PKQ≌△PEJ（AAS），

∴QK=EJ，PK=PJ，

即p=p+3，解得：p=，

∴P（，）

∴QK=EJ=-=，

∴OQ=OK+QK=+=，

∴Q（0，）；

②當∠QEP=90°時，EQ=EP，

如圖②，過點P作PR⊥x軸于點R，

∵∠QEP=90°，∠QOE=90°，

∴∠OQE+∠QEO=90°，∠QEO+∠PER=90°，

∴∠OQE=∠PER，

在△OQE與△REP中，

∠QOE=∠ERP=90°，∠OQE=∠PER，QE=EP，

∴△OQE≌△REP（AAS），

∴PR=OE=，OQ=ER，

即p+3=，解得p=，

∴P（，），

∴OQ=ER=-=，

∴Q（0，）

綜上所述，P（，），對應Q（0，）或P（，），對應Q（0，）．