Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊CD的長．
（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連接BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明變化規律．若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

又∵∠D=∠C，

∴△OCP∽△PDA；

∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴ ，

∴CP= AD=4，

設OP=x，則CO=8﹣x，

在Rt△PCO中，∠C=90°，

由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42，

解得：x=5，

∴AB=AP=2OP=10，

∴邊CD的長為10；

（2）

解：作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= ，

∴EF= PB=2 ，

∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2

【解析】（1）先證出∠C=∠D=90°，再根據∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；根據△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP= AD=4，設OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ， 求出x，最后根據AB=2OP即可求出邊AB的長；（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的結論求出PB= ，最后代入EF= PB即可得出線段EF的長度不變此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質，關鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形．