Question

【題目】在中，，，，點D在邊AB上，且，動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，以PD為邊向上做正方形，設點P運動的時間為秒，正方形與重疊部分的面積為．

（1）用含有的代數式表示線段的長．

（2）當點落在的邊上時，求的值．

（3）求與的函數關系式．

（4）當點P在線段AD上運動時，做點N關于CD的對稱點，當與的某一個頂點的連線平分的面積時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）當0t3時PD=3-t，當3＜t7時，PD=t-3；（2），；（3）；（4），，．

【解析】

（1）分0＜t≤3時，3＜t≤7時，兩種情形分別求解即可．

（2）分兩種情形①如圖2中，當點N在AC上時，②如圖3中，當點N在BC上時，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．

（3）分三種情形：①如圖4中，當0＜t≤時，重疊部分是五邊形EFPDM，②如圖5或6中．當＜t≤5時，重疊部分是正方形PDMN．③如圖7中，當5＜t≤7時，重疊部分是五邊形EFPDM，分別求解即可．

（4）分三種情形畫出圖形，利用平行線分線段成比例定理構建方程即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作CD′⊥AB于D．

∵∠B＝45°，BC＝4，

∴CD′＝BD′＝4，

又∵CD′⊥AB，，

∴在Rt△ACD′中，

AD′＝，

∵AD＝3，

∴AD＝AD′，

∴D′與D重合，

當0＜t≤3時，PD＝3﹣t．

當3＜t≤7時，PD＝t﹣3．

（2）①如圖2中，當點N在AC上時，

∵MN∥AD，

∴，

∴，

解得t＝．

②如圖3中，當點N在BC上時，

∵MN∥BD，

∴，

∴，

解得t＝5

綜上所述，滿足條件的t的值為s或5s．

（3）①如圖4中，當0＜t≤時，重疊部分是五邊形EFPDM，

s＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣

②如圖5或6中，當＜t≤5時，重疊部分是正方形PDMN，s＝t2﹣6t+9

③如圖7中，當5＜t≤7時，重疊部分是五邊形EFPDM，s＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t﹣3）2﹣[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．

綜上所述，．

（4）如圖8中，當點N′落在中線AE上時，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．

∵JN′∥EK，

∴，

則有，

解得t＝1．

如圖9中，當點N′落在中線BG上時，作GK⊥BC于K，N′J⊥/span>AB于J．

∵N′J∥GK，

∴，

∴，

解得t＝．

如圖10中，當點N′落在中線CF上時，

∵MN′∥DF，

∴，

∴，

解得t＝．

綜上所述，滿足條件的t的值為1s或s或s．