Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸相交于A，B兩點，點P是拋物線上一點，且，．

求該拋物線的表達式；

設點為拋物線上的一個動點，當點M在曲線BA之間含端點移動時，求的最大值及取得最大值時點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為；y＝x2﹣；(2)當點M在曲線BA之間(含端點)移動時，M的坐標為(，﹣)或(﹣，﹣)時，|m|+|n|的最大值為．

【解析】

（1）先求出A、B兩點坐標，然后過點P作PC⊥x軸于點C，根據∠PBA＝120°，PB＝AB，分別求出BC和PC的長度即可得出點P的坐標，最后將點P的坐標代入二次函數解析式即；

（2）根據題意可知：n＜0，然后對m的值進行分類討論，當﹣2≤m≤0時，|m|＝﹣m；當0＜m≤2時，|m|＝m，列出函數關系式即可求得|m|+|n|的最大值．

（1）如圖，令y＝0代入y＝ax2﹣4a，

∴0＝ax2﹣4a，

∵a＞0，

∴x2﹣4＝0，

∴x＝±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB＝4，

過點P作PC⊥x軸于點C，

∴∠PBC＝180°﹣∠PBA＝60°，

∵PB＝AB＝4，

∴cos∠PBC＝，

∴BC＝2，

由勾股定理可求得：PC＝2，

∵OC＝OB+BC＝4，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入y＝ax2﹣4a，

∴2＝16a﹣4a，

∴a＝，

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣；

（2）當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，

∴﹣2≤m≤2，n＜0，

當﹣2≤m≤0時，

∴|m|+|n|＝﹣m﹣n＝﹣m2﹣m+＝﹣（m+）2+，

當m＝﹣時，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，

此時，M的坐標為（﹣，﹣），

當0＜m≤2時，

∴|m|+|n|＝m﹣n＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，

當m＝時，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，

此時，M的坐標為（，﹣），

綜上所述，當點M在曲線BA之間（含端點）移動時，M的坐標為（，﹣）或（﹣，﹣）時，|m|+|n|的最大值為．