Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C（，0）作CD交AB于D，交軸于點(diǎn)E.且△COE≌△BOA.

（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)為 ；線段OA的長(zhǎng)為 ；

（2）確定直線CD解析式，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)M是線段CE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、E重合），ON⊥OM交AB于點(diǎn)N，連接MN.

①點(diǎn)M移動(dòng)過程中，線段OM與ON數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；

②當(dāng)△OMN面積最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和△OMN面積.

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），OA=3；（2）CD：，D（，）；（3）①OM=ON保持不變，見解析；②當(dāng)OM最小時(shí)，△OMN面積最小為，此時(shí)OM∥AB，M（，）

【解析】

（1）令x=0求出y的值，即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出OA的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)△COE≌△BOA求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；

（3）①先證明△COM≌△BON，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出OM=ON；

②由△OMN面積=可知當(dāng)OM⊥CD時(shí)，△OMN面積的面積最小，設(shè)M(x, )，利用面積法求解即可.

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，，

∴B（0，4）；

當(dāng)y=0時(shí)，

，

∴x=3，

∴A(3，0)，

∵OA =3；

（2）∵△COE≌△BOA，

∴OE=OA=3，

∴E（0，3）.

設(shè)CD解析式為y=kx+b，

把C（，0），E（0，3）代入得

，

解得

，

∴；

解 得，

∴D（，）；

（3）①線段OM與ON數(shù)量關(guān)系不變，OM=ON，理由：

∵ON⊥OM，∴∠MON=90°，

∴∠COM+∠AON=90°，

∵∠AON+∠BON=90°，

∴∠COM=∠BON，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCM=∠OBN，

在△COM與△BON中

，

∴△COM≌△BON（ASA），

∴OM=ON；

（3）△OMN面積=，

∴當(dāng)OM⊥CD時(shí)，△OMN面積的面積最小，

∵△COE≌△BOA，

∴∠OCE=∠DBE，

∵∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠BED+∠DBE=90°，

∴CD⊥AD,

∴OM∥AB,

∵,

∴,

解得，

∴M（，）.