Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，動點P從點A出發，沿AB方向以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，點Q為線段AP的中點，過點P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM為邊作矩形PQNM．設點P的運動時間為t秒．

（1）線段MP的長為　 　（用含t的代數式表示）．

（2）當線段MN與邊BC有公共點時，求t的取值范圍．

（3）當點N在△ABC內部時，設矩形PQNM與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

（4）當點M到△ABC任意兩邊所在直線距離相等時，直接寫出此時t的值．

Answer 1

【答案】（1）3t；（2）滿足條件的t的值為≤t≤ ；（3）S＝ ；（4）滿足條件的t的值為或或.

【解析】

（1）根據路程、速度、時間的關系再結合題意解答即可.

（2）分別出點M、N落在BC上時的t的范圍即可；

（3）分重疊部分是矩形PQNM和五邊形PQNEF兩種情況進行解答即可；

（4）按以下三種情形：當點M落在∠ABC的角平分線BF上時，滿足條件.作FELBC于E；當點M落在∠ACB的角平分線上時，滿足條件作EFLBC于F；當點M落在△ABC的∠ACB的外角的平分線上時，滿足條件.分別求解即可解答.

解：（1）由題意AP＝2t，AQ＝PQ＝t，

∵PM＝3PQ，

∴PM＝3t．

故答案為3t．

（2）如圖2﹣1中，當點M落在BC上時，

∵PM∥AC，

∴，

∴，

解得t＝

如圖2﹣2中，當點N落在BC上時，

∵NQ∥AC，

∴，

∴，

解得t＝，

綜上所述，滿足條件的t的值為≤t≤．

（3）如圖3﹣1中，當0＜t≤時，重疊部分是矩形PQNM，S＝3t2

如圖3﹣2中，當＜t≤時，重疊部分是五邊形PQNEF．

S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2﹣[3t﹣（4﹣2t）][3t﹣（4﹣2t）]＝﹣t2+18t﹣6，

綜上所述， ．

（4）如圖4﹣1中，當點M落在∠ABC的角平分線BF上時，滿足條件．作FE⊥BC于E．

∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF，

∴△BFA≌△BFE（AAS），

∴AF＝EF，AB＝BE＝4，設AF＝EF＝x，

∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，

∴BC＝＝5，

∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，

在Rt△EFC中，則有x2+12＝（3﹣x）2，

解得x＝，

∵PM∥AF，

∴，

∴，

∴t＝

如圖4﹣2中，當點M落在∠ACB的角平分線上時，滿足條件作EF⊥BC于F．

同法可證：△ECA≌△ECF（AAS），

∴AE＝EF，AC＝CF＝3，設AE＝EF＝y，

∴BF＝5﹣3＝2，

在Rt△EFB中，則有x2+22＝（4﹣x）2，

解得x＝，

∵PM∥AC，

∴，

∴，

解得t＝ ．

如圖4﹣3中，當點M落在△ABC的∠ACB的外角的平分線上時，滿足條件．

設MC的延長線交BA的延長線于E，作EF⊥BC交BC的延長線于分，

同法可證：AC＝CF＝3，EF＝AE，設EF＝EA＝x，

在Rt△EFB中，則有x2+82＝（x+4）2，

解得x＝6，

∵AC∥PM，

∴，

∴，

解得t＝，

綜上所述，滿足條件的t的值為或或.