Question

【題目】如圖，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線在第二象限內一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，與直線AB交于點C，過點P作x軸的平行線交拋物線于點Q，過點Q作x軸的垂線，垂足為點N，若點P在點Q左邊，設點P的橫坐標為m．

①當矩形PQNM的周長最大時，求△ACM的面積；

②在①的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，G是直線AC上一點，F是拋物線上一點，是否存在點G，使得以點P、C、G、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①，②F1（﹣1，4），F2（，），F3（，）．

【解析】分析：（1）先求出A、B兩點的坐標，再代入拋物線y=﹣x2+bx+c求出b、c的值即可；

（2）①先用m表示出PM的長，再求出拋物線的對稱軸及PQ的長，利用矩形的面積公式可得出其周長的解析式，進而可得出矩形面積的最大值，求出C點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；

②根據C點坐標得出P點坐標，故可得出PC的長，再分點F在點G的上方與點F在點G的下方兩種情況進行討論即可．

詳解：（1）∵直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴A（﹣3，0），B（0，3）．

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①∵點P的橫坐標為m，∴P（m，﹣m2﹣2m+3），PM=﹣m2﹣2m+3．

∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣=﹣=﹣1，∴PQ=2（﹣1﹣m）=﹣2m﹣2，∴矩形PQMN的周長=2（PM+PQ）=2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，當m=﹣2時，矩形PQMN的周長最大，此時點C的坐標為（﹣2，1），CM=AM=1，∴S△ACM=×1×1=；

②∵C（﹣2，1），∴P（﹣2，3），∴PC=3﹣1=2．

∵點P、C、G、F為頂點的四邊形是平行四邊形，GF∥y軸，∴GF∥PC，且GF=PC．

設G（x，x+3），則F（x，﹣x2﹣2x+3），當點F在點G的上方時，﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），當x=﹣1時，﹣x2﹣2x+3=4，即F1（﹣1，4）；

當點F在點G的下方時，x+3﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得：x=或x=．

當x=時，﹣x2﹣2x+3=；

當x=時，﹣x2﹣2x+3=，

故F2（），F3（）．

綜上所示，點F的坐標為F1（﹣1，4），F2（），F3（）．