Question

【題目】閱讀材料：小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式了的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進行了以下探索：

若設a+b＝（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均為整數），

則有a＝m2+2n2，b＝2mn．

這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）若a+b＝（m+n）2，當a、b、m、n均為整數時，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；

（2）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數，求a的值；

（3）化簡：．

Answer 1

【答案】（1）a＝m2+7n2，b＝2mn；（2）a的值為為12或28；（3）+1．

【解析】

（1）利用完全平方公式展開可得到用m、n表示出a、b；

（2）利用（1）中結論得到6＝2mn，利用a、m、n均為正整數得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后利用a＝m2+3n2計算對應a的值；

（3）設

＝t，兩邊平方得到t2＝4﹣+4++2，然后利用（1）中的結論化簡得到t2＝6+2，最后把6+2寫成完全平方形式可得到t的值．

解：（1）設a+b＝（m+n）2＝m2+7n2+2mn（其中a、b、m、n均為整數），

則有a＝m2+7n2，b＝2mn；

故答案為m2+7n2，2mn；

（2）∵6＝2mn，

∴mn＝3，

∵a、m、n均為正整數，

∴m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，

當m＝1，n＝3時，a＝m2+3n2＝1+3×9＝28；

當m＝3，n＝1時，a＝m2+3n2＝9+3×1＝12；

即a的值為為12或28；

（3）設

＝t，

則t2＝4﹣+4++2

＝8+2

＝8+2

＝8+2（﹣1）

＝6+2

＝（+1）2，

∴t＝+1．