Question

【題目】正方形ABCD中，點E是BD上一點，過點E作EF⊥AE交射線CB于點F，連結CE．

（1）已知點F在線段BC上．

①若AB=BE，求∠DAE度數；

②求證：CE=EF；

（2）已知正方形邊長為2，且BC=2BF，請直接寫出線段DE的長．

Answer 1

【答案】（1）①22.5°；②證明見解析；（2）或．

【解析】

(1)①先求得∠ABE的度數，然后依據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求得∠BAE的度數，然后可求得∠DAE度數；

②先利用正方形的對稱性可得到∠BAE=∠BCE，然后在證明又∠BAE=∠EFC，通過等量代換可得到∠BCE=∠EFC；

(2)當點F在BC上時，過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M.依據等腰三角形的性質可得到FN=CN，從而可得到NC的長，然后可得到MD的長，在Rt△MDE中可求得ED的長；當點F在CB的延長線上時，先根據題意畫出圖形，然后再證明EF=EC，然后再按照上述思路進行解答即可．

(1)①∵ABCD為正方形，∴∠ABE=45°，

又∵AB=BE，∴∠BAE(180°﹣45°)=67.5°，

∴∠DAE=90°﹣67.5°=22.5°；

②∵正方形ABCD關于BD對稱，

∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE，

又∵∠ABC=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF；

(2)如圖1，過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，

∵CE=EF，∴N是CF的中點，

∵BC=2BF，∴，

又∵四邊形CDMN是矩形，△DME為等腰直角三角形，

∴CN=DM=ME，

∴EDDMCN；

如圖2，過點E作MN⊥BC，垂直為N，交AD于M，

∵正方形ABCD關于BD對稱，∴△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE，

又∵∠ABF=∠AEF=90°，∴∠BAE=∠EFC，

∴∠BCE=∠EFC，∴CE=EF，∴FN=CN，

又∵BC=2BF，∴FC=3，∴CN，∴EN=BN，∴DE，

綜上所述：ED的長為或.