Question

【題目】閱讀材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），AB中點P的坐標為（xp ， yp）．由xp﹣x1=x2﹣xp ， 得xp= ，同理yp= ，所以AB的中點坐標為（ ， ）．由勾股定理得AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2 ， 所以A、B兩點間的距離公式為AB= ．這兩公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．解答下列問題：

（1）已知M（1，﹣2），N（﹣1，2），直接利用公式填空：MN中點坐標為 ， MN= ．
（2）如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．

（a）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；
（b）連結AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（c）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．

Answer 1

【答案】
（1）（0，0）；2
（2）

解：（a）聯立直線、拋物線，得 ，

解得 ， ，

即B（ ，3+ ），A（ ，3﹣ ）．

由P是AB的中點，得

P（ ，3）

當x= 時，y=2x2= ，即C點坐標為（ ， ）．

（b）AB2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣3+ ）2=25；

BC2=（ ﹣ ）2+（3+ ﹣ ）2= ﹣5 ；

AC2=（ ﹣ ）2+（3﹣ ﹣ ）2= +5 ，

∵AC2+BC2=AB2，

∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形；

（c）如圖 ，

作CD⊥AB于D點，CD 是兩直線間的距離，

S△ABC= ABCD= ACBC，

×5CD= × ，

解得CD= ．

兩直線l與l′的距離是

【解析】解：（1）由中點坐標，得 =0， =0，
MN中點坐標為（0，0），
由兩點間的距離，得
MN= =2 ，
所以答案是：（0，0），2 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．