Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，動點P從點B出發以1cm/s的速度沿BC的方向運動，動點Q從點C出發以2cm/s的速度沿CD方向運動，P、Q兩點同時出發，當Q到達點D時停止運動，點P也隨之停止，設運動的時間為ts（t＞0）

（1）求線段CD的長；

（2）t為何值時，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分？

Answer 1

【答案】（1）5厘米；（2）當t為 秒時，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分．

【解析】

（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ADEB是矩形，在直角△DEC中運用勾股定理即可求解；

（2）由題意可知BP=t厘米，則PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，同時由題意可知0＜t≤2.5；作QH⊥BC于點H，運用三角形相似可求解QH的長度表達式，則可列出△DEC的面積表達式，再按線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分，分S△PQC：S四邊形ABCD=1：3和S△PQC：S四邊形ABCD=2：3兩種情況分別討論.

（1）解：如圖1，作DE⊥BC于E，則四邊形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2 ，

∴DC= =5厘米；

（2）解：∵點P的速度為1厘米/秒，點Q的速度為2厘米/秒，運動時間為t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于點H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴ = ，即 = ，

∴QH= t，

∴S△PQC= PCQH= （5﹣t） t=﹣ t2+3t，

S四邊形ABCD= （AD+BC）AB= （1+5）×3=9，

分兩種情況討論：

①當S△PQC：S四邊形ABCD=1：3時，

﹣ t2+3t= ×9，即t2﹣5t+5=0，

解得t1= ，t2= （舍去）；

②S△PQC：S四邊形ABCD=2：3時，

﹣ t2+3t= ×9，即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程無解，

∴當t為 秒時，線段PQ將四邊形ABCD的面積分為1：2兩部分．