Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點（點C不與A，B重合），連接CA，CB．∠ACB的平分線CD與⊙O交于點D．

（1）求∠ACD的度數；

（2）探究CA，CB，CD三者之間的等量關系，并證明；

（3）E為⊙O外一點，滿足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若點P為AE中點，求PO的長．

Answer 1

【答案】（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，見解析；（3）OP＝．

【解析】

（1）由圓周角的定義可求∠ACB＝90°，再由角平分線的定義得到∠ACD＝45°；

（2）連接CO延長與圓O交于點G，連接DG、BG，延長DG、CB交于點F；先證明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再證明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；

（3）過點A作AM⊥ED，過點B作BN⊥ED交ED延長線與點N，連接BE；先證明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再證明△AED是等腰三角形，分別求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．

解：（1）∵AB是直徑，點C在圓上，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ACB的平分線CD與⊙O交于點D，

∴∠ACD＝45°；

（2）BC+AC＝CD，

連接CO延長與圓O交于點G，連接DG、BG，延長DG、CB交于點F；

∴∠CDG＝∠CBG＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴AC∥BG，

∴∠CGB＝∠ACG，

∴∠CGB＝45°+∠DCG，

∵∠CBF＝90°+∠DCG，

∴∠BGF＝45°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BG＝BF，

∵△ACO≌△BGO（SAS），

∴AG＝BF，

∵△CDF是等腰三角三角形，

∴CF＝CD，

∴BC+AC＝CD；

（3）過點A作AM⊥ED，過點B作BN⊥ED交ED延長線與點N，連接BE；

∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，

∴AD＝BD，

∵AB＝5，

∴BD＝AD＝，

∵∠MAD＝∠BDN，

∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），

∴AM＝DN，MD＝BN，

∵ED＝BD，

∴△AED是等腰三角形，

∵AE＝3，

∴AM＝，DM＝，

∴EN＝，BN＝，

在Rt△EBN中，BE＝，

∵P是AE的中點，O是AB的中點，

∴OP＝BN，

∴OP＝．