Question

【題目】已知點A（﹣1，1）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx上
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點F的坐標為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點G，過點G作x軸的垂線，垂足為H．設拋物線與x軸的正半軸交于點E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；

（3）如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點．點P從點C出發，沿射線CD方向勻速運動，速度為每秒
個單位長度；同時點Q從原點O出發，沿x軸正方向勻速運動，速度為每秒1個單位長度．點M是直線PQ與拋物線的一個交點，當運動到t秒時，QM=2PM，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，

，解得： ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x．

（2）證明：設直線AF的解析式為y=kx+m，

將點A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，

∴k=m﹣1，

∴直線AF的解析式為y=（m﹣1）x+m．

聯立直線AF和拋物線解析式成方程組，

，解得： ， ，

∴點G的坐標為（2m，2m2﹣m）．

∵GH⊥x軸，

∴點H的坐標為（2m，0）．

∵拋物線的解析式為y= x2﹣ x= x（x﹣1），

∴點E的坐標為（1，0）．

設直線AE的解析式為y=k1x+b1，

將A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，

，解得： ，

∴直線AE的解析式為y=﹣ x+ ．

設直線FH的解析式為y=k2x+b2，

將F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，

，解得： ，

∴直線FH的解析式為y=﹣ x+m．

∴FH∥AE．

（3）設直線AB的解析式為y=k0x+b0，

將A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，

，解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+2．

當運動時間為t秒時，點P的坐標為（t﹣2，t），點Q的坐標為（t，0）．

當點M在線段PQ上時，過點P作PP′⊥x軸于點P′，過點M作MM′⊥x軸于點M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示．

∵QM=2PM，

∴ = = ，

∴QM′= ，MM′= t，

∴點M的坐標為（t﹣ ， t）．

又∵點M在拋物線y= x2﹣ x上，

∴ t= ×（t﹣ ）2﹣ （t﹣ ），

解得：t= ；

當點M在線段QP的延長線上時，

同理可得出點M的坐標為（t﹣4，2t），

∵點M在拋物線y= x2﹣ x上，

∴2t= ×（t﹣4）2﹣ （t﹣4），

解得：t= ．

綜上所述：當運動時間為 秒、 秒、 秒或 秒時，QM=2PM．

【解析】（1）利用待定系數法把A、B坐標代入解析式即可；（2）要證坐標系中的兩直線平行，可求兩直線的解析式，斜率k相等，兩直線平行，常數b可不必求出；（3）須動手畫出點M與線段PQ的兩種相對位置，分類討論，斜線段QM與PM的比，通過作垂線，轉化為x軸上水平線段的比，構建方程，求出t.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．