Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線交軸于點，交軸于點．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點為拋物線上一點，連接并延長交軸于點，若點的橫坐標為4，求的面積；

（3）如圖3，點為對稱軸右側第四象限拋物線上一點，連接并延長交軸于點，過點作交軸于點．連接，過點作交延長線于點，當時，延長交拋物線于點，點在直線上，連接，交線段于點，將射線繞點逆時針旋轉45°，得到射線交線段于點，交直線于點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；（2）8；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）先將的橫坐標代入拋物線方程求出P點的坐標，再過點作軸于點，由現有條件推出CK的值，即可求出答案；

（3）首先過點作軸于點，過點作軸于點，設，求出t值，再過點作軸于點，連接，確定Q點坐標為（2，1），AT=BT=1，推出，過點作軸，并截取，連接，，推出，推出，從而證明，得到，設，則，在中，，推出，推出，設直線的解析式為，過點，點，所求解析式為，過點作延長線的垂線，交于點，過點作于點，設點，由，可得，點與點重合，設點，，解得，即可得出．

（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線解析式

得，

解得

∴拋物線解析式為；

（2）∵點的橫坐標為4，代入拋物線方程可得點的坐標為（4，-3），又C（0，-3），

軸，

，

如圖1所示，過點作軸于點，

，

在中，，

在中，，

，

；

（3）如圖2所示，過點作軸于點，過點作軸于點，設，

，

，

，

，

，

，

解得，

∴點，點，

，

，

過點作軸于點，連接，

設點，由可得，

解得或2，

∴點，

，

過點作軸，并截取，連接，

，

，

，

，

，

，

設，則，在中，，

，

，

設直線的解析式為，過點，點，

則直線的解析式為，

過點作延長線的垂線，交于點，過點作于點，設點，

由，可得，點與點重合，設點，

，解得，

．