Question

【題目】如圖（1），在ABC中，AB=BC=5，AC=6，ABC沿BC方向平移得到△ECD，連接AE、AC和BE相交于點(diǎn)O。
（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說(shuō)明理由；
（2）如圖（2）,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長(zhǎng)交線段AB于點(diǎn)Q，QR⊥BD，垂足為點(diǎn)R.四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積.

Answer 1

【答案】解 ：（1）四邊形ABCE是菱形，理由如下 ：
∵ABC沿BC方向平移得到△ECD；
∴AB∥CE ;AB=CE;
∴ 四邊形ABCE是平行四邊形；
又∵AB=BC,
∴平行四邊形ABCE是菱形；
（2）不變.∵平行四邊形ABCE是菱形；
∴AC⊥BE,OC＝AC=3,BE=2OB;
∴BE=2OB=×2=8;
由菱形的對(duì)稱性可知,△PBO≌△QEO,
∴S△PBO=S△QEO.
∵△ECD是由△ABC平移得到的,
∴ED∥AC,ED=AC=6.
又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,
∴S四邊形PQED=S△QEO+S四邊形POED=S△PBO+S四邊形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24.
【解析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出AB∥CE ;AB=CE;根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的的四邊形是平行四邊形得出四邊形ABCE是平行四邊形；又AB=BC,根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出平行四邊形ABCE是菱形；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分且垂直得出AC⊥BE,OC＝AC=3,BE=2OB;然后利用勾股定理得出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BE的長(zhǎng)，由菱形的對(duì)稱性可知,△PBO≌△QEO,根據(jù)全等三角形的面積相等得出S△PBO=S△QEO.根據(jù)平移的性質(zhì)得出ED∥AC,ED=AC=6.又BE⊥AC,故BE⊥ED,根據(jù)S四邊形PQED=S△QEO+S四邊形POED=S△PBO+S四邊形POED=S△BED得出答案。