Question

【題目】如圖，、是正方形，在上，直線、交于，且，、交于，當在線段（不與、重合）上運動時，下列四個結論：①；②、所夾的銳角為；③；④若平分，則正方形的面積為4，其中結論正確的是__（填序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由已知條件可證得△BEC≌△DGC，∠EBC＝∠CDG，因為∠BDC＋∠DBH＋∠EBC＝90°，所以∠BDC＋∠DBH＋∠CDG＝90°，即∠BHD＝90°，故①正確；由題意得、、、、五點都在以為直徑的圓上，根據圓周角定理即可得到∠AHD＝45°，故②正確；由②的五點共圓，可得∠BAH＝∠BDH，而∠ABD＝∠DBG＝45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根據相似三角形的性質即可得到③正確；過作于，連接，若BE平分∠DBC，那么H是DG的中點，易證得，求出，然后證明，可得，即，由此可知④正確．

解：① ，，，

，

，

，

，

∴∠BHD＝90°，即，故①正確；

②由于、、都是直角，因此、、、、五點都在以為直徑的圓上，由圓周角定理知：，故②正確；

③由②知：、、、、五點共圓，則，

又，

，

∴，

∴，故③正確；

④過作于，連接；

若BE平分∠DBC，且，

∴是中點，

∴垂直平分，

∴，為的中位線，

設，則，，，

，，

，

，，

，

∴，即，

，即，

，且，

，

∴，即，

∴，

∴，即正方形的面積為4，故④正確；

故答案為：①②③④．