Question

【題目】如圖，頂點為（1，4）的拋物線與直線交于點A(2,2),直線與軸交于點B與軸交于點C

(1)求的值及拋物線的解析式

(2)P為拋物線上的點，點P關于直線AB的對稱軸點在軸上，求點P的坐標

(3)點D為軸上方拋物線上的一點，點E為軸上一點，以A 、B、E、D為頂點的四邊為平行四邊形時，直接寫出點E的坐標。

Answer 1

【答案】（1）1； ；（2）點的坐標（1，4）或；（3）或或或

【解析】試題分析：(1)、將A點坐標代入一次函數解析式得出n的值，首先設二次函數的解析式為頂點式，然后將點A坐標代入得出函數解析式；(2)、如圖1.設與AC的交點為H，作HM⊥x軸于M，作與N，設出點P和點H的坐標，根據H是的中點得出m與x的關系式，根據相似得出x與m的關系，從而求出x的值，得出點P的坐標；(3)、設點坐標為A，以AB為邊或對角線以及平行四邊形的性質分別進行討論，分別得出點的坐標.

試題解析：（1）A（2，2）代入得

設拋物線的解析式代入點）A（2，2），可得

所以拋物線的解析式

（2）如圖1.設與AC的交點為H，作HM⊥x軸于M，作與N

設G

一方面，由于H是的中點，因此

于是得到所以整理，得 ①

另一方面，由得

所以與整理，得 ②

聯立① ②解得或，所以點的坐標（1，4）如圖2）或（如圖3）

圖1 圖2 圖3

(3)設點坐標為A，以AB為邊或對角線進行分類討論：

①如圖4，當AB是平行四邊行的邊時，AB//DE,AB=DE

由于點B(0,1)先向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到A(2,2),所以點D的坐標可以表示為

將代入，得

解得，此時如圖5或，（如圖6）

圖4 圖5 圖6

②如圖7，當AB是平行四邊形的對角線時，設AB的中點，點E

關于的對稱軸的坐標可以表示為

將代入，得

解得，此時如圖5）或，