Question

【題目】在直角坐標系中，過原點O及點A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、連結OB，點D為OB的中點，點E是線段AB上的動點，連結DE，作DF⊥DE，交OA于點F，連結EF．已知點E從A點出發，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設移動時間為t秒．

（1）如圖1，當t=3時，求DF的長．

（2）如圖2，當點E在線段AB上移動的過程中，∠DEF的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠DEF的值．

（3）連結AD，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應的t的值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）∠DEF的大小不變，tan∠DEF=；（3）或．

【解析】試題（1）當t=3時，點E為AB的中點，由三角形的中位線定理得出DE∥EA，DE=OA=4，再由矩形的性質證出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，證出四邊形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；

（2）作DM⊥OA于點M，DN⊥AB于N，證明四邊形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行線得出比例式，，由三角形中位線定理得出DM=AB=3，DN=OA=4，證明ΔDMF∽ΔDNE，得出，再由三角函數的定義即可得解；

（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD將ΔDEF的面積分為1:2的兩部分，設AD交EF于點G，則點G為EF的三等分點.

①當點E到達中點之前時，NE=3-t，由ΔDMF∽ΔDNE得：MF＝，求出AF=4+MF=，得出G（，），求出直線AD的解析式為y=-+6，把G（，）代入即可求出t的值；

②當點超過中點之后，NE＝t-3，由由ΔDMF∽ΔDNE得：MF＝，求出AF=4-MF=，得出G（，），代入直線AD的解析式y=-+6即可求出t的值；

試題解析： （1）當t=3時，點E為AB的中點，

∵A（8，0），C（0，6），

∴OA=8，OC=6，

∵點D為OB的中點，

∴DE∥OA，DE=OA=4，

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴DE⊥AB，

∴∠OAB=∠DEA=90°，

又∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∴四邊形DFAE是矩形，

∴DF=AE=3；

（2）∠DEF的大小不變；理由如下：

作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如圖2所示：

∵四邊形OABC是矩形，

∴OA⊥AB，

∴四邊形DMAN是矩形，

∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，

∴，，

∵點D為OB的中點，

∴M、N分別是OA、AB的中點，

∴DM=AB=3，DN=OA=4，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDM=∠EDN，

又∵∠DMF=∠DNE=90°，

∴△DMF∽△DNE，

∴，

∵∠EDF=90°，

∴tan∠DEF=；

（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，

若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，

設AD交EF于點G，則點G為EF的三等分點；

①當點E到達中點之前時，如圖3所示，NE=3﹣t，

由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），

∴AF=4+MF=﹣t+，

∵點G為EF的三等分點，

∴G（，），

設直線AD的解析式為y=kx+b，

把A（8，0），D（4，3）代入得：，

解得：，

∴直線AD的解析式為y=﹣x+6，

把G（，）代入得：t=；

②當點E越過中點之后，如圖4所示，NE=t﹣3，

由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），

∴AF=4﹣MF=﹣t+，

∵點G為EF的三等分點，

∴G（，），

代入直線AD的解析式y=﹣x+6得：t=；

綜上所述，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，t的值為或.