Question

【題目】如圖1，拋物線與拋物線相交y軸于點C，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側），直線交x軸負半軸于點N，交y軸于點M，且．

（1）求拋物線的解析式與k的值；

（2）拋物線的對稱軸交x軸于點D，連接，在x軸上方的對稱軸上找一點E，使以點A，D，E為頂點的三角形與相似，求出的長；

（3）如圖2，過拋物線上的動點G作軸于點H，交直線于點Q，若點是點Q關于直線的對稱點，是否存在點G（不與點C重合），使點落在y軸上？若存在，請直接寫出點G的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），k的值為；（2）的長為或10；（3）存在，點G的橫坐標為或或或．

【解析】

（1）根據拋物線可求得點C的坐標，代入即可求得t的值，由，求得點N的坐標，進而求得k的值；

（2）因為∠AOC=∠EDA=90°已確定，所以分兩種情況討論△BDA與△AOC相似，通過對應邊的比相等可求出DE的長；

（3）先根據題意畫出圖形，通過軸對稱的性質等證明四邊形QMQ'G為菱形，分別用字母表示出Q，G的坐標，分兩種情況討論求出GQ'的長度，利用三角函數可求出點G的橫坐標．

（1）當時，，

∴點C的坐標為 (0，4)，

∵點C (0，4)在拋物線的圖象上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

∵C (0，4)，，

∴，

∴點N的坐標為 (，0)，

∵直線過N (，0)，

∴,

解得,

∴拋物線的解析式為，k的值為；

（2）連接，

令，則,

解得，

∴點A的坐標為 (，0)，點B的坐標為 (4，0)，

∴拋物線的對稱軸為直線．

∴點A的坐標為 (，0)，

∵C (0，4)，

∴，，，

①當時，

，

∴，

∴；

②當時，

，

∴，

∴，

綜上，的長為或10；

（3）如圖，點是點Q關于直線的對稱點，且點在y軸上時，

由軸對稱性質可知，，，，

∵軸，∴軸．

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形，

∴，

作軸于點P，

設，

則，

∴，

，

∵，

∴，

令，則，令，則，

∴直線與坐標軸的交點分別為M (0，3)，N(，0)，

∴OM=3，ON=4，

在中，，

∴，

∴，

解得，，，，

經檢驗，，，都是所列方程的解，

綜上，點G的橫坐標為或或或．