Question

【題目】[問題解答]

兩個城鎮(zhèn)與一條公路位置如圖①所示.現(xiàn)電信部門需在公路上修建一座信號發(fā)射塔要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)與的距離之和最短．

　　　　　　

解：點作關于直線的對稱點連結,

與直線的交點即為所求的點.

點關于直線對稱，

直線垂直平分

點即為所求的點。(兩點之間線段最短)

請根據(jù)以上問題解答，完成下列問題．

[方法運用]如圖②，在正方形中，點在邊上，點在對角線AC上，

（1）當點是邊的中點時，則的最小值為 ；

（2）若求周長的最小值．

[拓展提升]如圖③，在中，，AD平分交于點，點分別在上，則的最小值為 ．

Answer 1

【答案】[方法運用]（1）；（2）△BEM周長的最小值6；[拓展提升]．

【解析】

[方法運用]

（1）易知B關于AC的對稱點D，連接DE交AC于M，則的最小值為DE，根據(jù)勾股定理即可求出DE長；

（2）作點E作關于AC的對稱點E1，連結BE1，交AC與點M，求出的最小值，即可求出三角形周長的最小值；

[拓展提升]

由角平分線可得到F點對稱點始終在AB上，延長CE交AB于P點，則CP=，當CP⊥AB時，即可求得最小值．

解：[方法運用]

（1）易知B點關于AC對稱點為D點，連接DE交AC于M，

的最小值為，

∴則的最小值為．

（2）作點E作關于AC的對稱點E1，連結BE1，交AC與點M．

∵點E、E1關于AC對稱，

∴AC垂直平分EE1

∴，

∴，

∴，

又∵BE=4-3=1，

∴△BEM周長的最小值6．

[拓展提升]

∵AD平分，

∴F點關于AD的對稱點始終在AB上，

延長CE交AB于P點，則P點為F點的對稱點，即CP=，

∴當CP⊥AB時，有最小值，

∵，

∴AB=5，

∴CP=，

∴的最小值為．