Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積。

小明發現：分別延長QE、MF、NG、PH交FA、GB、HC、ED的延長線于點R、S、T、W可得△RQF、△SMG、△TNH、△WPE是四個全等的等腰直角三角形（如圖2）

請回答：

（1）若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形（無縫隙，不重疊），則這個新的正方形的邊長為__________；

（2）求正方形MNPQ的面積.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D、E、F作BC、AC、AB的垂線，得到等邊△RPQ，若，則AD的長為__________.

Answer 1

【答案】(1)a(2)2(3)

【解析】

試題（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a,其拼成的正方形面積為a2,邊長為a；

（2）如題圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和,據此求出正方形MNPQ的面積；

（3）參照小明的解題思路,對問題做同樣的等積變換．如答圖1所示,三個等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積,故陰影三角形△PQR的面積等于三個虛線等腰三角形的面積之和．據此列方程求出AD的長度．

試題解析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a,則斜邊上的高為a,

每個等腰直角三角形的面積為：aa=a2,

則拼成的新正方形面積為：4×a2=a2,即與原正方形ABCD面積相等,

∴這個新正方形的邊長為a；

（2）∵四個等腰直角三角形的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2,

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；

（3）如答圖1所示,分別延長RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延長線于點S,T,W．

由題意易得：△RSF,△QET,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長均等于△ABC的邊長．

不妨設等邊三角形邊長為a,則SF=AC=a．

如答圖2所示,過點R作RM⊥SF于點M,則MF=SF=a,

在Rt△RMF中,RM=MFtan30°=a×=a,

∴S△RSF=aa=a2．

過點A作AN⊥SD于點N,設AD=AS=x,

則AN=ADsin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,

∴S△ADS=SDAN=xx=x2．

∵三個等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2,

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,

∴=3×x2,得x2=,

解得x=或x=（不合題意,舍去）

∴x=,即AD的長為．