Question

【題目】如圖，在中，，點、、分別在、、邊上，以為直徑⊙的恰好經過、，且

（1）求證：為⊙的切線；

（2）若，求的度數；

（3）若，，求⊙的半徑及線段的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）65°；（3）

【解析】

（1）證明：連接OD、OE、DF，如圖，利用圓周角定理得∠ADF＝90°，則DF∥BC，再證明OE⊥DF，則OE⊥BC，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）利用互余得到∠BOE＝50°，則利用等腰三角形和三角形內角和計算出∠OFE＝65°，然后根據圓內接四邊形的性質可得到∠CDE的度數；

（3）利用四邊形CDHE為矩形得到HE＝CD＝2，DH＝CE＝4，設⊙O的半徑為r，則OH＝OEHE＝r2，OD＝r，則利用勾股定理得到（r2）2＋42＝r2，解方程得到r＝5，再證明△OHF∽△OEB，然后利用相似比可計算出BE．

解：（1）證明：連接OD、OE、DF，如圖，

∵AF為直徑，

∴∠ADF=90°，

而∠C=90°，

∴DF∥BC，

∵DE=EF，

∴

∴OE⊥DF，

∴OE⊥BC，

∴BC為⊙O的切線；

（2）∵∠OEB=90°，∠B=40°，

∴∠BOE=90°﹣40°=50°，

∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，

∴∠CDE=∠AFE=65°；

（3）解：∵∠C=∠OEC=90°

又OE⊥DF，

∴∠EHD=90°

∴四邊形CDHE為矩形，

∴HE=CD=2，DH=CE=4，

設⊙O的半徑為r，則OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，

在Rt△OHD中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，

∵OH⊥DF，

∴HF=DH=4，

∵HF∥BE，

∴△OHF∽△OEB，

∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，

∴BE=．