Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝8，．過點B作⊙O的切線BD，過點A作AD⊥BD，垂足為D．

（1）求證：∠BAD+∠C＝90°

（2）求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由弦切角等于同弧所對的圓周角得：∠C＝∠ABD，再根據直角三角形兩銳角互余得出結論；

（2）作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再證明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的長．

：（1）∵BD為⊙O的切線，

∴∠C＝∠ABD，

∵AD⊥BD，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠C+∠BAD＝90°，

（2）連接OB，過O作OE⊥AB于E，

∴AE＝BE＝AB＝4，

由勾股定理得：OE＝＝＝3，

∵BD為⊙O的切線，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD＝90°，

∵∠ADB＝90°，

∴AD∥OB，

∴∠DAB＝∠ABO，

∵∠D＝∠OEB＝90°，

∴△OEB∽△BDA，

∴，

∴，

∴AD＝；

則線段AD的長為．