Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應任務：

黃金分割

天文學家開普勒把黃金分割稱為神圣分割，并指出畢達哥拉斯定理（勾股定理）和黃金分割是幾何中的雙寶，前者好比黃金，后者堪稱珠寶，歷史上最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是歐姆，19世紀以后“黃金分割”的說法逐漸流行起來，黃金分割被廣泛應用于建筑等領域．黃金分割指把一條線段分為兩部分，使其中較長部分與線段總長之比等于較短部分與較長部分之比，該比值為．用下面的方法（如圖①）就可以作出已知線段的黃金分割點：

①以線段為邊作正方形，

②取的中點，連接，

③延長到，使，

④以線段為邊作正方形，點就是線段的黃金分割點．

以下是證明點就是線段的黃金分割點的部分過程：

證明：設正方形的邊長為1，則，

為中點，

，

在中，，

，

，

，

…

任務：

（1）補全題中的證明過程；

（2）如圖②，點為線段的黃金分割點，分別以為邊在線段同側作正方形和矩形，連接．求證：；

（3）如圖③，在正五邊形中，對角線與分別交于點求證：點是的黃金分割點．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）設正方形ABCD的邊長為1，則AB=AD=1，由勾股定理得出，得出，求出，由正方形的性質得出，求出，即可得出結論；

（2）由正方形和矩形的性質得出∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF，BC=DF，由點C為線段AB的黃金分割點，得出，因此，即可得出結論；

（3）根據正五邊形的性質得到∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，推出△AME∽△AED，根據相似三角形的性質得到∴AE：AD=AM：AE，得到AE2=ADAM，等量代換即可得到結論．

（1）證明：設正方形ABCD的邊長為1，則AB=AD=1，

∵E為AD中點，

∴AE=，

∴在Rt△BAE中，

∵EF=BE

∴

∴，

∵四邊形AFGH是正方形，

∴，

∴，

∴點H是線段AB的黃金分割點；

（2）證明：∵四邊形ACDE是正方形，四邊形CBFD是矩形，

∴∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF，BC=DF，

∵點C為線段AB的黃金分割點，

∴，

∴，

∴△EAB∽△BCD；

（3）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，

∴∠BAE=∠AED=（5-2）×180°=108°，AB=AE=DE，

∴∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=（180°-108°）=36°，

∵∠DAE=∠DAE，∠ADE=∠AEM=36°，

∴△AME∽△AED，

∴AE：AD=AM：AE，

∴AE2=ADAM，

∵AE=DE=DM，/span>

∴DM2=ADAM，

∴點M是AD的黃金分割點．