Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，矩形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，頂點C在y的正半軸上，點B的坐標是（5，3），拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一個交點是點D，連接BD．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是拋物線對稱軸上的一點，以M、B、D為頂點的三角形的面積是6，求點M的坐標；

（3）點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿D→B勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿B→A→D勻速運動，當點P到達點B時，P、Q同時停止運動，設運動的時間為t秒，當t為何值時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？請直接寫出所有符合條件的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2x+3；（2）點M的坐標為（3，）或（3，）；（3）當t= ，t=或t=時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．

【解析】

（1）求出點A、C的坐標，利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）如答圖1所示，關鍵是求出MG的長度，利用面積公式解決；注意，符合條件的點M有2個，不要漏解；

（3）△DPQ為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論：

①若PD=PQ，如答圖2所示；

②若PD=DQ，如答圖3所示；

③若PQ=DQ，如答圖4所示．

（1）∵矩形ABCD，B（5，3），

∴A（5，0），C（0，3）．

∵點A（5，0），C（0，3）在拋物線y=x2+bx+c上，

∴，解得：b=，c=3．

∴拋物線的解析式為：y=x2x+3．

（2）如答圖1所示，

∵y=x2x+3=（x﹣3）2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=3．

如答圖1所示，設對稱軸與BD交于點G，與x軸交于點H，則H（3，0）．

令y=0，即x2x+3=0，解得x=1或x=5．

∴D（1，0），∴DH=2，AH=2，AD=4．

∵tan∠ADB=，∴GH=DHtan∠ADB=2×，

∴G（3，）．

∵S△MBD=6，即S△MDG+S△MBG=6，

∴MGDH+MGAH=6，

即：MG×2+MG×2=6，

解得：MG=3．

∴點M的坐標為（3，）或（3，-）．

（3）在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，則BD=5，∴sinB=，cosB=．

以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，則：

①若PD=PQ，如答圖2所示：

此時有PD=PQ=BQ=t，過點Q作QE⊥BD于點E，

則BE=PE，BE=BQcosB=t，QE=BQsinB=t，

∴DE=t+t=t．

由勾股定理得：DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，

即（t）2+（t）2=42+（3﹣t）2，

整理得： t2+6t﹣25=0，

解得：t=或t=﹣5（舍去），

∴t=；

②若PD=DQ，如答圖3所示：

此時PD=t，DQ=AB+AD﹣t=7﹣t，

∴t=7﹣t，

∴t=；

③若PQ=DQ，如答圖4所示：

∵PD=t，∴BP=5﹣t；

∵DQ=7﹣t，∴PQ=7﹣t，AQ=4﹣（7﹣t）=t﹣3．

過點P作PF⊥AB于點F，則PF=PBsinB=（5﹣t）×=4﹣t，BF=PBcosB=（5﹣t）×=3﹣t．

∴AF=AB﹣BF=3﹣（3﹣t）=t．

過點P作PE⊥AD于點E，則PEAF為矩形，

∴PE=AF=t，AE=PF=4﹣t，∴EQ=AQ﹣AE=（t﹣3）﹣（4﹣t）=t﹣7．

在Rt△PQE中，由勾股定理得：EQ2+PE2=PQ2，

即：（t﹣7）2+（t）2=（7﹣t）2，

整理得：13t2﹣56t=0，

解得：t=0（舍去）或t=．

∴t=．

綜上所述，當t=，t=或t=時，以D、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形．