Question

【題目】（定義）如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．請利用“智慧角”的定義解決下列兩個問題：

（運用）（1）如圖2，已知∠MON=120°，點P為∠MON的平分線上一點，以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=120°．求證：∠APB是∠MON的智慧角．

（探究）（2）如圖3，已知∠MON=（0°＜＜90°），OP=4，若∠APB是∠MON的智慧角，連接AB，試用含的代數式分別表示∠APB的度數和△AOB的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠APB=180°－α，

【解析】

（1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP=∠MON=60°，再證出∠OAP=∠OPB，證明△AOP∽△POB，得出對應邊成比例，得出OP2=OAOB，即可得出結論；
（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，證出△AOP∽△POB，得出對應角相等∠OAP=∠OPB，即可得出∠APB=180°-α；過點A作AH⊥OB于H，由三角形的面積公式得出：S△AOB=OBAH，即可得出S△AOB=8sinα．

運用（1）證明：

∵∠MON=120°，點P為∠MON的平分線上一點，

∴．

∵∠AOP＋∠OAP＋∠APO=180°，

∴．

∵，

∴．

∴∠OAP=∠OPB.

∴△AOP∽△POB.

∴，即OP2=OA·OB，∴∠APB是∠MON的智慧角．

探究（2）∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OP2=OA·OB，即．

∵點P為∠MON的平分線上一點，

∴

∴△AOP∽△POB.

∴∠OAP=∠OPB.

∴∠APB=∠OPB＋∠OPA=∠OAP＋∠OPA=180°－

如圖，過點A作AH⊥OB于點H，

∴SAOB=．

∵OP=4，∴．