Question

【題目】如圖，一個三角形的紙片ABC，其中∠A=∠C．
（1）把△ABC紙片按（如圖1）所示折疊，使點A落在BC邊上的點F處，DE是折痕，說明BC∥DF；
（2）把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內時 （如圖2），探索∠C與∠1+∠2之間的大小關系，并說明理由；
（3）當點A落在四邊形BCED外時（如圖3），∠C與∠1、∠2的關系是（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】解：（1）根據折疊的性質得：∠DFE=∠A，
∵∠A=∠C，
∴∠DFE=∠C，
∴BC∥DF；
（2）2∠C=∠1+∠2，
理由：∵四邊形的內角和等于360°，
∴∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°．
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2．
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠1+∠2；
（3）∠2﹣∠1=2∠C，
證明如下：由題意得：∠A′ED=∠AED（設為α），∠A′DE=∠ADE（設為β）；
∵∠2+2α=180°，∠1=β﹣∠BDE
=β﹣（∠A+α），
∴∠2﹣∠1
=180°﹣（α+β）+∠A；
∵∠A=180°﹣（α+β），
∴∠2﹣∠1=2∠A，
∵∠A=∠C，
∴2∠C=∠2﹣∠1．
故答案為：2∠C=∠2﹣∠1．
【解析】（1）根據折疊的性質得∠DFE=∠A，由已知得∠A=∠C，于是得到∠DFE=∠C，即可得到結論；
（2）先根據四邊形的內角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由圖形翻折變換的性質即可得出結論；
（3）∠A′ED=∠AED（設為α），∠A′DE=∠ADE（設為β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β﹣∠BDE=β﹣（∠A+α），推出∠2﹣∠1=180°﹣（α+β）+∠A，根據三角形的內角和得到∠A=180°﹣（α+β），證得∠2﹣∠1=2∠A，于是得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對三角形的外角的理解，了解三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．