Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，經過O，C兩點做拋物線y1=ax（x﹣t）（a為常數，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y2=kx（k為常數，k＞0）

（1）填空：用含t的代數式表示點A的坐標及k的值：A ， k=；
（2）隨著三角板的滑動，當a= 時：
①請你驗證：拋物線y1=ax（x﹣t）的頂點在函數y= 的圖象上；
②當三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式及t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）（t，4）；
（k＞0）
（2）

解：①當a= 時，y1= x（x﹣t），其頂點坐標為（ ，﹣ ）．

對于y= 來說，當x= 時，y=- × =﹣ ，即點（ ，﹣ ）在拋物線y= 上．

故當a= 時，拋物線y1=ax（x﹣t）的頂點在函數y= 的圖象上；

②如圖1，過點E作EK⊥x軸于點K．

∵AC⊥x軸，

∴AC∥EK．

∵點E是線段AB的中點，

∴K為BC的中點，

∴EK是△ACB的中位線，

∴EK= AC=2，CK= BC=2，

∴E（t+2，2）．

∵點E在拋物線y1= x（x﹣t）上，

∴ （t+2）（t+2﹣t）=2，

解得t=2．

（3）

解：如圖2， ，則 x=ax（x﹣t），

解得x= +t，或x=0（不合題意，舍去）．

故點D的橫坐標是 +t．

當x= +t時，|y2﹣y1|=0，由題意得t+4= +t，

∴at=1．

∵y2﹣y1= x﹣ax（x﹣t）=﹣ax2+（at+ ）x=﹣a[x2﹣（t+ ）x+（ + ）2]+a（ + ）2

=﹣a[x﹣（ + ）]2+a（ + ）2

∴當x= + 時，y2﹣y1取得最大值，

又∵當x= +t時，|y2﹣y1|=0，

∴當 + ≤x≤ +t時，|y2﹣y1|隨x的增大而減��；當x≥ +t時，|y2﹣y1|隨x的增大而增大．

根據題意需要滿足當t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，

∴t≥ + 可滿足條件，

∵at=1，

∴解得t≥4．

綜上所述，a與t的關系式及t的取值范圍為at=1（t≥4）．

【解析】 解：（1）∵點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，∴點A的坐標是（t，4）．又∵直線OA：y2=kx（k為常數，k＞0），∴4=kt，則k= （k＞0）．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．