Question

【題目】⑴ 閱讀理解：我們知道在直角三角形中，有無數組勾股數，例如：5、12、13；9、40、41；……但其中也有一些特殊的勾股數，例如：3、4、5；是三個連續正整數組成的勾股數.

解決問題：① 在無數組勾股數中，是否存在三個連續偶數能組成勾股數？

答： ，若存在，試寫出一組勾股數： .

② 在無數組勾股數中，是否還存在其它的三個連續正整數能組成勾股數？若存在，求出勾股數，若不存在，說明理由.

③ 在無數組勾股數中，是否存在三個連續奇數能組成勾股數？若存在，求出勾股數，若不存在，說明理由.

⑵ 探索升華：是否存在銳角△ABC三邊也為連續正整數；且同時還滿足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC？若存在，求出△ABC三邊的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①存在，6、8、10；②不存在，理由見解析；③不存在，理由見解析；（2）存在．三邊長分別是4、5、6

【解析】分析：(1)①3，4，5是連續正整數，則它們的2倍是連續偶數；②設三個連續正整數分別是：n－1，n，n＋1(n＞1的整數)，用勾股定理列方程求解；③設三個連續奇數分別是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整數)，由奇數的平方是奇數，奇數＋奇數＝偶數分析判斷；(2)延長CB到點D，使BD＝BA，連接AD，證明△CAB∽△CDA，用比例線段列方程求解.

詳解：⑴①答：存在；6，8，10.

②答：不存在．

理由：假設在無數組勾股數中，還存在其它的三個連續正整數能組成勾股數.

設三個連續正整數分別是：n－1，n，n＋1(n＞1的整數)，

則：(n－1)2＋n2＝(n＋1)2，

得：n1＝4，n2＝0(舍去)

∴當n＝4時，n－1＝3，n＋1＝5，

∴三個連續正整數仍然為3，4，5，

∴不存在其它的三個連續正整數能組成勾股數．

③答：不存在．

理由：假設在無數組勾股數中，存在三個連續奇數能組成勾股數.

設三個連續奇數分別是：2n－1，2n＋1，2n＋3(n＞1的整數)，

∵(奇數)2＋(奇數)2≠(奇數)2

∴不存在三個連續奇數能組成勾股數．

⑵答：存在．三邊長分別是4，5，6．

理由：如圖，在△ABC中，設AB＝x，AC＝x＋1，BC＝x－1(x＞1的整數)，

則：∠B＞∠C＞∠A；且∠ABC＝2∠BAC，

延長CB到點D，使BD＝BA，連接AD.

∴∠BAD＝∠BDA，

又∵∠ABC＝∠BAD＋∠BDA＝2∠BDA，且∠ABC＝2∠BAC，

∴∠BAC＝∠BDA.

又∵∠C＝∠C，∴△CAB∽△CDA，

∴AC2＝BC·DC，∴(x＋1)2＝(x－1)[(x－1)＋x]，

得：x1＝5，x2＝0(舍去).

當x＝5時，x－1＝4，x＋1＝6，即：BC＝4，AB＝5，AC＝6，

答：存在銳角△ABC三邊為連續正整數，BC＝4，AB＝5，AC＝6；

且同時還滿足：∠B＞∠C＞∠A；∠ABC＝2∠BAC.