Question

【題目】如圖，平行四邊形中，，，，點與點是平行四邊形邊上的動點，點以每秒個單位長度的速度，從點運動到點，點以每秒個單位長度的速度從點→點→點運動.當其中一個點到達終點時，另一個隨之停止運動.點與點同時出發，設運動時間為，的面積為.

(1)求關于的函數關系式；

(2)為何值時，將以它的一邊為軸翻折，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形.

Answer 1

【答案】（1）①當時，；②當時，；(2)時，不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形. 當時，為等腰三角形.

【解析】

（1）當0＜t≤2時，如圖1，過點B作BE⊥CD，交DC的延長線于點E，根據三角形面積公式求得S關于t的函數關系式，當2＜t≤4時，如圖2，CP=t，BQ=2t-4，過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于F點，由三角形面積公式求得S關于t的函數關系式，
（2）要使翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形，則△CPQ為等腰三角形，則要CQ=CP，看看t是否存在．

(1)①當時，如圖1，過點作，交的延長線于點，

∴∠BED=90°,即∠BCE+∠CBE=90°,

∵四邊形是平行四邊形，∴AD∥BC,

，

，由勾股定理得：，

∵，

∴；

②當時，由題意得：CP=t,，，

如圖2，過點P作PF⊥BC，交BC的延長線于點F,

∴∠F=90°，

∵四邊形是平行四邊形，∴AB∥DC,

∴，∵，

,

，由勾股定理得：,

∴，

即.

∴S= .

(2)當時，不是等腰三角形，所以不存在符合條件的菱形.

當時，令，即，解得

當時，為等腰三角形，

即為的一邊所在直線為軸翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形.