Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長為2，點M在射線BC上，且∠BAM＝θ，射線AM交BD于點N，作CE⊥AM于點E．

(1)如圖1，當點M在邊BC上時，則θ的取值范圍是(點M與端點B不重合)　 　；∠NCE與∠BAM的數量關系是　 　；

(2)若點M在BC的延長線時；

①依題意，補全圖2；

②(1)中的∠NCE與∠BAM的數量關系是否發生變化？若變化，寫出數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（或）（2）①圖見解析；②變化：（或）

【解析】

（1）連接AC，根據∠BAC=45°解答即可求出的取值范圍；通過證明△BAN≌△BCN可證明∠BAM=∠BCN，根據∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME可知∠BAM=∠ECM，即可證明；（2）①根據題意畫出圖形即可；②連接AC，根據正方形的性質可證明AN=CN,即可證明∠NAC=∠NCA，根據外角性質及直角三角形兩銳角互余即可求出∠NCE=180°-2∠BAN.

（1）連接AC，則∠BAC=45°，

∵M在BC上，不與B重合，

∴≤45°.

∵AB=BC，∠ABN=∠CBN=45°，BN=BN，

∴△BAN≌△BCN，

∴∠BAM=∠BCN，

∵∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME

∴∠BAM=∠ECM，

∴∠NCE=∠BCN+∠ECM=2∠BAM

故答案為：≤45°；（或）.

（2）①補全圖如下：

②有變化；∠NCE=180°-2∠BAN.理由如下：

如圖：連接AC，

∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，

∴NA=NC，

∴∠NAC=∠NCA，

∴∠ENC=2∠NAC，

∵∠NAC=∠BAN-45°，∠ENC=90°-∠NCE，

∴90°-∠NCE=2（∠BAN-45°）

∴∠NCE=180°-2∠BAN.（或）