Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線 y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B、兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）判斷△ABC形狀，并說明理由．

（2）在拋物線第四象限上有一點，它關于x軸的對稱點記為點P，點M是直線BC上的一動點，當△PBC的面積最大時，求PM+MC的最小值；

（3）如圖2，點K為拋物線的頂點，點D在拋物線對稱軸上且縱坐標為，對稱軸右側的拋物線上有一動點E，過點E作EH∥CK，交對稱軸于點H，延長HE至點F，使得EF=，在平面內找一點Q，使得以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸，請問是否存在這樣的點Q，若存在請直接寫出點E的橫坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）結論：△ABC是直角三角形（2）（3）存在．滿足條件的點E的橫坐標為或或或

【解析】試題分析：（1）由△AOC∽△COB，推出∠ACO=∠OBC，由∠OBC+∠OCB=90°，推出∠ACO+∠BCO=90°，推出∠ACB=90°，得出結論；

（2）如圖1中，設第四象限拋物線上一點N（m， x2﹣x﹣），點N關于x軸的對稱點P（m，-x2+x+），作過B、C分別作y軸、x軸的平行線交于點G，連接PG，可得S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG，由此可得△PBC面積最大時的點P的坐標，如圖2，作ME⊥CG于點M，由△CEM∽△BOC，根據對應邊成比例，得出PM+CM=PM+ME，根據垂線段最短可知，當PE⊥CG時，PM+ME最短，由此即可解決；

（3）分三種情況討論，①如圖3，當DH=HF，HQ平分∠DHF時，以嗲F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線是對稱軸，②如圖4，當DH=HF，HQ平分∠DHF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線是對稱軸，③如圖5，當DH=DF，DQ平分∠HDF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線是對稱軸，分別求解即可.

試題解析：（1）結論：△ABC是直角三角形．理由如下，

對于拋物線 y=x2﹣x﹣，令y=0得 x2﹣x﹣=0，解得x=﹣或3；令x=0得y=﹣，

∴A（﹣，0），C（0，﹣），B（3，0），

∴OA=，OC=，OB=3，

∴==，∵∠AOC=∠BOC，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ACO=∠OBC，

∵∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=90°，

∴∠ACB=90°．

（也可以求出AC、BC、AB利用勾股定理的逆定理證明）．

（2）如圖1中，設第四象限拋物線上一點N（m， m2﹣m﹣），點N關于x軸的對稱點P（m，﹣m2+m+），作過B、C分別作y軸，x軸的平行線交于點G，連接PG．

∵G（3，﹣），

∴S△PBC=S△PCG+S△PBG﹣S△BCG=××（﹣m2+m+2）+×（3﹣m）﹣××=﹣（m﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴當m=時，△PBC的面積最大，

此時P（，），

如圖2中，作ME⊥CG于M．

∵CG∥OB，

∴∠OBC=∠ECM，∵∠BOC=∠CEM，

∴△CEM∽△BOC，

∵OC：OB：BC=1：3：，

∴EM：CE：CM=1：3：，

∴EM=CM，

∴PM+CM=PM+ME，

∴根據垂線段最短可知，當PE⊥CG時，PM+ME最短，

∴PM+MC的最小值為+=．

（3）存在．理由如下，

①如圖3中，當DH=HF，HQ平分∠DHF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸．

作CG⊥HK于G，PH∥x軸，EP⊥PH于P．

∵FH∥CK，K（，﹣），

易知CG：GK：CK=3：4：5，

由△EPH∽△KGC，得PH：PE：EH=3：4：5，設E（（n， n2﹣n﹣），則HE=（n﹣），PE=（n﹣），

∵DH=HF，

∴+[﹣n2+n+﹣（n﹣）]=（n﹣）+，

解得n=或（舍棄）．

②如圖4中，當DH=HF，HQ平分∠DHF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸．

同法可得[n2﹣n﹣+（n﹣）]﹣=（n﹣）+，

解得n=+或﹣（舍棄）．

③如圖5中，當DH=DF，DQ平分∠HDF時，以點F、H、D、Q為頂點的四邊形是軸對稱圖形，且過點Q的對角線所在的直線 是對稱軸．

設DQ交HF于M．由△DHM∽△CKG，可知HM：DH=4：5，

[（n﹣）+]：[n2﹣n﹣+（n﹣）﹣]=4：5，

解得n=+或=﹣（舍棄），

④如圖6中，當FQ平分∠DFH時，滿足條件，此時=．

∴5× [n2﹣n﹣﹣+（n﹣）]=4[（n﹣）+]，

解得：n=或（舍棄）

綜上所，滿足條件的點E的橫坐標為或+或+或．