Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延長線于點E，點F為點B關于CE的對稱點，連接CF，分別延長DC，CF至點G，H，使FH=CG，連接AG，DH交于點P．

（1）依題意補全圖1；

（2）猜想AG和DH的數量關系并證明；

（3）若∠DAB=70°，是否存在點G，使得△ADP為等邊三角形？若存在，求出CG的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) AG=DH,理由見解析;(3) 不存在．理由見解析.

【解析】(1)依題意畫圖；

（2）根據菱形性質得，∥，；由點為點關于的對稱點，得垂直平分，故，，所以，再證，

由，，得．可證△≌△．

（3）由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，

證得∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，故△ADP不可能是等邊三角形．

（1）補全的圖形，如圖所示．

（2）AG=DH．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴，∥，．

∵點為點關于的對稱點，

∴垂直平分．

∴，．

∴．

又∵，

∴．

∵，，

∴．

∴△≌△．

∴．

（3）不存在．

理由如下：

由（2）可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，

∴∠DPA=∠PDG＋∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．

∴△ADP不可能是等邊三角形．