Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線交BC的延長線于點E，在弦BC上取一點F，使AF＝AE，連接AF并延長交⊙O于點D．

（1）求證：∠B＝∠CAD；

（2）若CE＝2，∠B＝30°，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6．

【解析】

（1）根據切線的性質和圓周角的定理得∠BAE＝∠ACB＝90°，進而求得∠B＝∠CAE，根據等腰三角形三線合一的性質得出∠CAD＝∠CAE，即可證得結論；

（2）連接BD，易證得∠BAD＝30°，解直角三角形求得AE，進而求得AB，然后即可求得AD．

（1）證明：∵AE是⊙O的切線，

∴∠BAE＝90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠CAE＝90°，∠BAC+∠B＝90°，

∴∠B＝∠CAE，

∵AF＝AE，∠ACB＝90°，

∴∠CAD＝∠CAE．

∴∠B＝∠CAD；

（2）解：連接BD．

∵∠ABC＝∠CAD＝∠CAE＝30°，

∴∠DAE＝60°，

∵∠BAE＝90°，

∴∠BAD＝30°，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴cos∠BAD＝，

∴＝，

∵∠ACE＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，

∴AE＝2CE＝4，

∵∠BAE＝90°，∠ABC＝30°，

∴cot∠ABC＝，即＝，

∴AB＝4，

∴＝，

∴AD＝6．