Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）求證：EO=FO；
（2）當CE=12，CF=10時，求CO的長；
（3）當O點運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF

（2）解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= ×180°=90°，

∴Rt△CEF中，EF= = =2 ，

又∵OE=OF，

∴CO= EF=

（3）解：當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，

證明：∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

由（2）可得∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．

【解析】（1）先根據等角對等邊，得出OE=OC，OF=OC，再根據等量代換，得出OE=OF；（2）先根據角平分線的定義，求得∠ECF=90°，再根據勾股定理求得EF的長，最后根據直角三角形的性質，求得CO的長；（3）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定即可．
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．