Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．點D從C出發(fā)，沿線段CO以1個單位/秒的速度向終點O運動，過點D作OC的垂線交BC于點E，作EF∥OC，交拋物線于點F．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）小明在探究點D運動時發(fā)現(xiàn)，①當點D與點C重合時，EF長度可看作O；②當點D與點O重合時，EF長度也可以看作O，于是他猜想：設(shè)點D運動到OC中點位置時，當線段EF最長，你認為他猜想是否正確，為什么？

（3）連接CF、DF，請直接寫出△CDF為等腰三角形時所有t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）點D為OC的中點時，線段EF最長（3）當t=2或或3時，△CDF為等腰三角形

【解析】

（1）由于已知拋物線與x軸交點坐標，則設(shè)交點式y=a（x+1）（x-3），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)E（t，-t+3），接著表示出D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定EF最大時的t的值，從而判斷點D是否為OC的中點；
（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3）和利用兩點間的距離公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分類討論：當CD=CF或FC=FD或DC=DF時得到關(guān)于t的方程，接著分別解關(guān)于t的方程即可．

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a1（﹣3）=3，解得a=﹣1，

所以拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；

（2）他猜想正確．理由如下：

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把C（0，3），B（3，0）代入得 ，解得，則直線BC的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)E（t，﹣t+3），則D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），

所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

當t=時，EF最大，最大值為，

此時D點坐標為（0，），

所以點D為OC的中點時，線段EF最長；

（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），

∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2 ， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2 ， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2 ，

當CD=CF時，即t2=t2+（﹣t2+2t）2 ， 解得t1=0，t2=2；

當FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=；

當DC=DF時，即t2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=3；

綜上所述，當t=2或或3時，△CDF為等腰三角形．