Question

【題目】已知：直線y=﹣x﹣4分別交x、y軸于A、C兩點，拋物線y=ax2+bx（a＞0）經過A、O兩點，且頂點B的縱坐標為﹣2
（1）判斷點B是否在直線AC上，并求該拋物線的函數關系式；
（2）以點B關于x軸的對稱點D為圓心，以OD為半徑作⊙D，試判斷直線AC與⊙D的位置關系，并說明理由；
（3）若E為⊙D的優(yōu)弧AO上一動點（不與A、O重合），連結AE、OE，問在拋物線上是否存在點P，使∠POA：∠AEO=2：3？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A、C分別是直線y=﹣x﹣4與x、y軸的交點，

∴點A（﹣4，0），點C（0，﹣4），

由題意可得： ，

解得 ，

∴拋物線的函數關系式為y= x2+2x．

由y= x2+2x= （x+2）2﹣2得頂點B（﹣2，﹣2）．

當x=﹣2時，y=﹣x﹣4=﹣2，

∴點B在直線y=﹣x﹣4上

（2）解：直線AC與⊙D相切．

理由：連接DA，如圖1．

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），

∴OA=OC=4．

∵∠AOC=90°，

∴∠OAC=∠OCA=45°．

∵點B在直線AC上，

∴∠BAO=45°．

∵點B與點D關于x軸對稱，

∴∠DAO=∠BAO=45°，

∴∠DAB=90°，

∵拋物線y=ax2+bx（a＞0）經過A、O兩點，頂點是B，點B與點D關于x軸對稱，OD為半徑，

∴直線AC與⊙D相切

（3）解：過點P作PH⊥x軸于H，如圖2①、圖2②，

∵DA=DO，

∴∠DOA=∠DAO=45°，

∴∠ADO=90°．

∵E為⊙D的優(yōu)弧AO上一動點（不與A、O重合），

∴∠AEO= ∠ADO=45°．

∵∠POA：∠AEO=2：3，

∴∠POA= ∠AEO= ×45°=30°．

∴直線OP的解析式為y= x，或y=﹣ x．

①當直線OP的解析式為y=﹣ x時，如圖2①，

解方程組 ，得

或 ，

∴點P的坐標為（﹣ ﹣4， + ）．

②當直線OP的解析式為y= x時，如圖2②，

解方程組 ，得

或 ，

∴點P的坐標為（ ， ）．

綜上所述：點P的坐標為（﹣ ﹣4 ）或（ -4， ）．

【解析】（1）可先求出點A、C的坐標，然后結合點A的坐標及頂點B的縱坐標為﹣2可得到關于a、b的方程組，然后解這個方程組，就可得到拋物線的函數關系式，從而得到點B的坐標，然后把點B的坐標代入直線AC的解析式，就可解決問題；（2）連接DA，如圖1，要證直線AC與⊙D相切，只需證∠DAC=90°；（3）過點P作PH⊥x軸于H，如圖2①、圖2②，易得∠ADO=90°，根據圓周角定理可得∠AEO，從而求出∠POA，從而可得到直線OP的解析式，然后解直線OP與拋物線的解析式組成的方程組，就可得到點P的坐標．