Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，直線分別交軸和軸于點.

(1)如圖1，已知經過點，且與直線相切于點，求的直徑長；

(2)如圖2，已知直線分別交軸和軸于點和點，點是直線上的一個動點，以為圓心，為半徑畫圓.

①當點與點重合時，求證: 直線與相切；

②設與直線相交于兩點， 連結. 問:是否存在這樣的點，使得是等腰直角三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 的直徑長為；(2) ①見解析；②存在這樣的點和，使得是等腰直角三角形.

【解析】

（1）連接BC，證明△ABC為等腰直角三角形，則⊙P的直徑長=BC=AB，即可求解；
（2）過點作于點，證明CE=ACsin45°=4×=2 =圓的半徑，即可求解；
（3）假設存在這樣的點，使得是等腰直角三角形，分點在線段上時和點在線段的延長線上兩種情況，分別求解即可．

（1）如圖3，連接BC，

∵∠BOC=90°，

∴點P在BC上，
∵⊙P與直線l1相切于點B，
∴∠ABC=90°，而OA=OB，
∴△ABC為等腰直角三角形，
則⊙P的直徑長=BC=AB=3

(2)如圖4過點作于點，

圖4

將代入，得，

∴點的坐標為.

∴，

∵，

∴.

∵點與點重合，

又的半徑為，

∴直線與相切.

②假設存在這樣的點，使得是等腰直角三角形，

∵直線經過點，

∴的函數解析式為.

記直線與的交點為，

情況一：

如圖5，當點在線段上時，

由題意，得.

如圖，延長交軸于點，

圖5

∵，

∴，

即軸，

∴點與有相同的橫坐標，

設，則，

∴.

∵的半徑為，

∴，

解得，

∴，

∴的坐標為.

情況二：

當點在線段的延長線上時，同理可得，的坐標為.

∴存在這樣的點和，使得是等腰直角三角形.