Question

【題目】已知，二次函數的圖像經過點

（1）求此函數的解析式，并寫出其頂點坐標；

（2）在線段上是否存在點(不含兩點)，使與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1），頂點為(1，4)；（2）存在，點P的坐標為()

【解析】

（1）已知了拋物線圖象上三點的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式；用配方法將拋物線解析式化為頂點式，然后求出其頂點坐標；
（2）可分兩種情況：
①△ABP∽△ABC，此時AB:AB=AP:AC，P、C重合，此種情況不合題意；
②△ABP∽△ACB，得AB:AC=AP:AB，由此可求出AP的長；易求得直線AC的解析式，可根據直線AC的解析式設出P點的坐標，再由AP的長求出P點的坐標．

（1）由題意得：，

解得：，

∴此函數解析式為，
∵，
∴頂點為(1，4)；
（2）假設存在點P，使△ABP與△ABC相似，

①△ABP∽△ABC，此時AB:AB=AP:AC，

∴AP=AC，即P、C重合，此種情況不合題意；
②△ABP∽△ACB，得AB:AC=AP:AB，

∵，

∴，，

∴

直線AC的解析式為：，

則，

解得：，

∴直線AC的解析式為：，

設P，其中，

∴

解得：(舍去)．

∴點P的坐標為() ．