Question

【題目】（1）發現：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．

①填空：當點A位于　 　時，線段AC的長取得最大值，且最大值為　 　（用含a，b的式子表示）

（2）應用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB、AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①CD=BE．理由見解析；②線段BE長的最大值為4．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，可得當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b；

（2）①根據等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根據全等三角形的性質可得CD=BE；

②根據全等三角形的性質可得，線段BE長的最大值=線段CD長的最大值，而當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，此時CD=3+1=4，可得BE=4．

試題解析：（1）如圖1，

∵點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b，

∴當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b．

（2）①CD=BE．

理由：如圖2，

∵三角形ABD和三角形ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD和△EAB中，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴CD=BE；

②線段BE長的最大值為4．

理由：∵線段BE長的最大值=線段CD長的最大值，

∴當線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上，

此時CD=3+1=4，

∴BE=4．