Question

【題目】如圖，在中，，，以為直徑作交于點，是的中點，連接．點在上，連接并延長交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）連接，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，AD．根據圓周角定理得到∠ADB=90°，求得∠ADC=90°，根據線段中點的定義得到DE=AE，求得∠EAD=∠EDA，根據等腰三角形的性質得到∠OAD=∠ODA，推出OD⊥DE，于是得到結論；

（2）過點F作FH⊥AB于點H，連接OF，得到∠AHF=90°．根據余角的想性質得到∠G=∠BAF，根據相似三角形的性質得到，由垂線段最短可得FH≤OF，當且僅當點H，O重合時等號成立．于是得到結論．

（1）證明：連接，．

∵為直徑，點在上，

∴，

∴．

∵是的中點，

∴，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

即，

∴．

∵是半徑的外端點，

∴是的切線．

（2）過點作于點，連接，

∴．

∵為直徑，點在上，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

又，

∴，

∴．

由垂線段最短可得，

當且僅當點，重合時等號成立．

∵，

∴上存在點使得，此時點，重合，

∴，

即的最大值為．