Question

（1）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為：1+2+3+…+n=

 

．

（2）小明在一次數(shù)學活動中，為了求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值，設計了如圖3所示的圖形．請你利用這個幾何圖形求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值為

 

．

（3）請你利用圖4，再設計一個能求

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

的值的圖形．

Answer 1

分析：（1）圖2中圓點的個數(shù)是圖1中圓點個數(shù)的2倍，圖2總圓點個數(shù)為n×（n+1），所以圖1中圓點是個數(shù)為：

n(n+1)

2

（2）設正方形的面積為1，每次劃分都是將原圖形化成兩個面積相等的圖象，當化到第n個時，所剩的最小圖形的面積是

1

2n

，所以

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

表示的面積等于1-

1

2n

．
（3）在劃分圖形時每次劃分都是上一級圖形面積的一半．

解答：解：由分析得：（1）1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；

（2）

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．

（3）如圖1-1或如圖1-2或如圖1-3等．

點評：本題解答關鍵是利用圖形的面積表示所求表達式的值，在圖形劃分時每一次劃分都是上一級圖形面積的一半．