Question

【題目】已知一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0．

（1）求證：不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根；

（2）設a＜0，當二次函數y＝x2＋ax＋a－2的圖象與x軸的兩個交點的距離為時，求出此二次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，若此二次函數圖象與x軸交于A、B兩點，在函數圖象上是否存在點P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）因為△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，

所以不論a為何實數，此方程總有兩個不相等的實數根．

（2）設x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的兩個根，則x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2，因兩交點的距離是，

所以|x1－x2|＝＝．即：(x1－x2)2＝13

變形為：(x1＋x2)2－4x1x2＝13所以：(－a)2－4(a－2)＝13

整理得：(a－5)(a＋1)＝0解方程得：a＝5或－1

又因為：a＜0，所以：a＝－1

所以：此二次函數的解析式為y＝x2－x－3．

（3）設點P的坐標為(x0，y0)，因為函數圖象與x軸的兩個交點間的距離等于，

所以：AB＝所以：S△PAB＝AB|y0|＝

所以：＝

即：|y0|＝3，則y0＝±3

當y0＝3時，x02－x0－3＝3，即(x0－3)(x0＋2)＝0

解此方程得：x0＝－2或3

當y0＝－2時，x02－x0－3＝－3，即x0(x0－1)＝0

解此方程得：x0＝0或1

綜上所述，所以存在這樣的P點，P點坐標是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)．

【解析】（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了，（2）根據二次函數圖象與x軸的兩個交點的距離公式解答即可．(3)是二次函數綜合應用問題和三角形的綜合應用