Question

【題目】（本題12分）拋物線經過點A(－4，0)，B(2，0)且與軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1，P為線段AC上一點，過點P作軸平行線，交拋物線于點D，當△ADC的面積最大時，求點P的坐標；

(3)如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸子F點，M、N分別是軸和線段EF上的動點，設M的坐標為(m，0)，若∠MNC＝90°，請指出實數m的變化范圍，并說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+2x﹣8．

（2）點P的坐標為（﹣2，﹣4）．

（3）∴m的取值范圍是﹣10≤m≤15．理由詳見解析．

【解析】試題分析：（1）只需用待定系數法就可求出拋物線的解析式；

（2）可用待定系數法求出直線AC的解析式為y=-2x-8，設點P的坐標為（a，-2a-8），則點D（a，a2+2a-8），（-4＜a＜0），然后用割補法求得S△ADC=-2（a+2）2+8，從而可求出△ADC的面積最大時點P的坐標；

（3）易求得OF=1、EF=9、OC=8．設FN=n，（0≤n≤9），然后分三種情況（Ⅰ．M與點F重合，Ⅱ．M在點F左側，Ⅲ．M在點F右側）討論，運用相似三角形的性質均可得到m=-n2+8n-1（0≤n≤9）．由m=-n2+8n-1=-（n-4）2+15可得到m最大值為15，再由n=0時m=-1，n=9時m=-10可得m最小值為-10，從而可得到m的取值范圍．

試題解析：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經過點A（-4，0），B（2，0），

∴，

解得： ．

∴拋物線的解析式為y=x2+2x-8．

（2）如圖1，

令x=0，得y=-8，

∴點C的坐標為（0，-8）．

設直線AC的解析式為y=kx+t，

則，

解得： ，

∴直線AC的解析式為y=-2x-8．

設點P的坐標為（a，-2a-8），則點D（a，a2+2a-8），（-4＜a＜0），

∴PD=（-2a-8）-（a2+2a-8）=-a2-4a，

∴S△ADC=S△APD+S△CPD

=PD[a-（-4）]+ PD（0-a）

=2PD=-2（a2+4a）

=-2（a+2）2+8，

∴當a=-2時，S△ADC取到最大值為8，此時點P的坐標為（-2，-4）．

（3）由y=x2+2x-8=（x+1）2-9得E（-1，-9）、C（0，-8），

則有OF=1、EF=9、OC=8．

設FN=n，（0≤n≤9），

Ⅰ．當M與點F重合時，此時m=-1，n=8，顯然成立；

Ⅱ．當M在點F左側，作NQ⊥y軸于點Q，如圖2①，此時m＜-1．

∵∠MNC=∠FNQ=90°，∴∠MNF=∠CNQ．

∵∠MFN=∠CQN=90°，

∴△MFN∽△CQN，

∴

∴，

∴m=-n2+8n-1．

Ⅲ．當M在點F右側，作NQ′⊥y軸于點Q′，如圖2②，此時m＞-1．

∵∠MNC=∠FNQ′=90°，∴∠MNF=∠CNQ′．

∵∠MFN=∠CQ′N=90°，

∴△MFN∽△CQ′N，

∴，

∴，

∴m=-n2+8n-1．

綜上所述：m=-n2+8n-1，（0≤n≤9）．

∴m=-n2+8n-1=-（n-4）2+15，

∴當n=4時，m取到最大值為15．

∵n=0時m=-1，n=9時m=-10，

∴m取到最小值為-10，

∴m的取值范圍是-10≤m≤15．