Question

已知二次函數y=ax²-（a+1）x-4（a為常數）
（1）已知二次函數y=ax²-（a+1）x-4的圖象的頂點在y軸上，求a的值；
（2）經探究發現無論a取何值，二次函數的圖象一定經過平面直角坐標系內的兩個定點．請求出這兩個定點的坐標；
（3）已知關于x的一元二次方程ax²-（a+1）x-4=0的一個根在-1和0之間（不含-1和0），另一個根在2和3之間（不含2和3），試求整數a的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意二次函數y=ax²-（a+1）x-4的圖象的頂點在y軸上，可知函數對稱軸為x=0，再根據對稱軸的公式求出a值；
（2）由題意無論a取何值，二次函數的圖象一定經過平面直角坐標系內的兩個定點，可得x²-x=0，此時無論a取何值，x=0或1為定值，從而求出兩定點的坐標；
（3）由題意方程ax²-（a+1）x-4=0的一個根在-1和0之間，說明f（-1）與f（0）異號，又另一個根在2和3之間（不含2和3），說明f（2）與f（3）異號，從而解出a的值．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²-（a+1）x-4的圖象的頂點在y軸上，
∴函數的對稱軸為x=0，
∴-

-(a+1)

2a

=0，
∴a=-1；（3分）

（2）（法一）∵無論a取何值，二次函數的圖象一定經過平面直角坐標系內的兩個定點．
∴令a=0，a=-1得：

y=-x-4 y=-x2-4

解得：

x=0 y=-4

或

x=1 y=-5

（6分）
∴這兩個定點的坐標是（0，-4）或（1，-5）．（7分）
（法二）∵y=ax²-（a+1）x-4=（x²-x）a-x-4，
無論a取何值，這個二次函數的圖象一定經過平面直角坐標系內的兩個定點，
∴x²-x=0，
∴

x=0 y=-4

或

x=1 y=-5

（6分）
∴這兩個定點的坐標是（0，-4）或（1，-5）；（7分）

（3）令f（x）=y=ax²-（a+1）x-4
∵ax²-（a+1）x-4=0在（-1，0）之間有一根
∴f（-1）與f（0）異號
∴f（-1）•f（0））=（2a-3）•（-4）＜0…①（8分）
∵ax²-（a+1）x-4=0在（2，3）之間有一根
∴f（2）與f（3）異號
∴f（2）•f（3）=（a-3）•（6a-7）＜0…②（9分）
由①②解不等式組

2a-3＞0 (a-3)(6a-7)＜0

（10分）
解得

3

2

＜a＜3，（11分）
∵a為整數，
∴a=2時，二次方程a=2時，二次方程ax²-（a+1）x-4=0的一根在-1和0之間，另一根在2和3之間．（12分）

點評：此題是一道綜合題，主要考查一元二次方程與函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，若方程無根說明函數與x軸無交點，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉化，圖象與x軸交點兩邊的函數值異號，要充分運用這一點來解題．